演化网络的扩展模型

BA 模型只有“加节点、按度连边”两个动作。真实网络还会在已有节点之间加边、删除节点、随时间加速增长，节点也会“老化”。每加入一种过程，度指数都会以可计算的方式改变。下面的结果都可用与 BA 模型相同的平均场方法得到（主要推导见数学推导与算法）。

初始吸引力

纯优先连接下，度为 0 的节点永远得不到连接，这与“没被引用过的新论文也会被首次引用”不符。加一个常数： $$\Pi(k)\propto A+k ,$$ $A$ 称为初始吸引力。结果是 $\gamma=3+A/m$：初始吸引力削弱了优先连接，使网络更均匀；同时在小度区产生一段“饱和”，度分布不再是纯幂律，而是 $p_k\sim(k+A)^{-\gamma}$ 形式的平移幂律。Barabási 书中用 2007–2008 年发表论文的引用数据估计 $A$ 约为 7。有向的 Price 引文模型中，相应结果为 $\gamma=2+A/m$（$m$ 为每篇论文的平均参考文献数，见 Newman《Networks》）。

内部连边

在很多网络中，大部分新边出现在已有节点之间（新的合作发生在已发表过论文的学者之间）。设每步除新节点带来的 $m$ 条边外，还在已有节点间加 $n$ 条内部边：

• 双优先连接（两端都按度选择）：$\gamma=2+\dfrac{m}{m+2n}$，介于 2 与 3 之间。枢纽之间互相连接，使网络更异质。
• 随机内部边（两端均匀选择）：$\gamma=3+\dfrac{2n}{m}\ge3$，网络更均匀。

节点删除

节点会消失：网页被删除，物种灭绝，蛋白随基因丢失而消失。Moore、Ghoshal 与 Newman（2006）给出了带随机删点的优先连接模型的精确解：只要网络净增长，度分布仍是幂律，但指数随删点速率增大而升高；当删点速率趋近加点速率时，指数无界增大。他们据此推测，真实网络中较小的度指数反映了“加得远比删得快”的快速增长阶段。有些网络中节点几乎无法被真正删除：被撤稿的论文仍会继续被引用。

加速增长

多数模型假设平均度不随时间变化，即边数与节点数成正比。但一些网络在增长中越来越稠密（例如代谢网络中代谢物的平均度随代谢物数目增加）。设新节点带来的边数随时间增长，$m(t)=m_0t^{\theta}$（$0\le\theta<1$），则 $$\gamma=3+\frac{2\theta}{1-\theta}=\frac{3-\theta}{1-\theta}.$$ 加速增长使网络更均匀；$\theta\to1$ 时指数发散，平均度随时间线性增长，网络失去无标度性（Dorogovtsev 与 Mendes 2001）。

老化

演员会退休，论文会过时，节点吸引连接的能力随年龄衰减。常用的写法是 $$\Pi(k_i,t-t_i)\propto k_i\,(t-t_i)^{-\nu}.$$ Dorogovtsev 与 Mendes（2000）的分析表明：$\nu<0$（越老越吸引人）时优先连接被加强，度指数降到 3 以下，极端情况下所有新节点都连向最老的节点；$0<\nu<1$ 时网络仍是无标度的，但 $\gamma>3$；$\nu>1$ 时老节点很快“退场”，网络失去无标度性，变得类似于一串新节点之间的链式结构。

小结：机制与度指数

这张表说明了两件事。第一，$\gamma$ 本身不能告诉你是哪个机制：许多不同的过程组合都可以给出同一个指数。第二，真实网络的度分布偏离纯幂律几乎是必然的：初始吸引力造成小度饱和，老化与容量限制造成大度截断，非线性造成弯曲。Barabási《Network Science》第 4 章用一个统一的形式描述这些偏离：小度区饱和、大度区指数截断的幂律 $p_k\sim(k+k_{\text{sat}})^{-\gamma}e^{-k/k_{\text{cut}}}$；第 6 章再把饱和与截断分别对应到初始吸引力、亚线性优先连接、老化等具体机制。他也指出，小度区饱和几乎不影响无标度网络的主要性质，真正改变动力学的是限制 $\langle k^2\rangle$ 发散的大度截断。