测量优先连接与非线性优先连接

BA 模型把优先连接写成一个假设。它在真实网络中是否成立、函数形式是不是线性，可以用网络的时间序列数据直接检验。

从两个时间快照测量 $\Pi(k)$

如果优先连接成立，节点在一小段时间内获得的新边数应当与它当前的度成正比：$\Delta k_i/\Delta t\propto\Pi(k_i)$。Jeong、Néda 与 Barabási（2003）提出的做法是：

1. 取网络在 $t_0$ 与 $t_0+\Delta t$ 两个时刻的快照（$\Delta t$ 相对网络规模很短）；
2. 对 $t_0$ 时度为 $k$ 的所有节点，统计它们在 $\Delta t$ 内获得的新边数，平均后得到 $\Pi(k)$ 的估计；
3. 由于单个度类的样本很少、噪声大，改看累积函数 $$\pi(k)=\sum_{k'<k}\Pi(k').$$ 若 $\Pi(k)\propto k^{\alpha}$，则 $\pi(k)\propto k^{\alpha+1}$：无优先连接（$\alpha=0$）时斜率为 1，线性优先连接时斜率为 2。

用这种方法，引文、互联网等网络得到的 $\alpha$ 接近 1；科研合作网络与演员合作网络则是亚线性的（$\alpha<1$）。本专题代码示例在模拟网络上演示了这一测量。

非线性优先连接

设 $\Pi(k)\propto k^{\alpha}$。Krapivsky、Redner 与 Leyvraz（2000）的分析表明，只有 $\alpha=1$ 才给出纯幂律：

• 亚线性（$0<\alpha<1$）：富者愈富被削弱，度分布变为拉伸指数型 $p_k\sim k^{-\alpha}\exp\!\big(-c\,k^{1-\alpha}\big)$；最大度只按 $(\ln t)^{1/(1-\alpha)}$ 增长，枢纽受到明显限制。
• 线性（$\alpha=1$）：BA 模型，$\gamma=3$，$k_{\max}\sim t^{1/2}$。
• 超线性（$\alpha>1$）：富者愈富被放大，出现“赢家通吃”：少数（极端情况下一个）节点获得几乎所有新连接，最大度按 $t$ 线性增长，网络呈“中心–辐条”（hub-and-spoke）结构；$\alpha>2$ 时这种凝聚从一开始就发生。

所以观察到的度分布偏离纯幂律，可能只是优先连接略偏非线性的结果——例如亚线性的合作网络更适合用拉伸指数描述。