数学推导与算法

Fisher z 变换与样本量公式

设样本相关 $r$ 来自二元正态总体，总体相关为 $\rho$。Fisher z 变换 $z = \operatorname{artanh}(r) = \tfrac12 \ln\frac{1+r}{1-r}$ 近似服从 $N\big(\operatorname{artanh}(\rho),\, 1/(n-3)\big)$。对原假设 $\rho = 0$ 的双侧检验，统计量 $Z = \sqrt{n-3}\, z$，拒绝域为 $|Z| > z_{1-\alpha/2}$。当真实值为 $\rho > 0$ 时，功效约为

$$1-\beta \approx \Phi\!\left(\sqrt{n-3}\,\operatorname{artanh}(\rho) - z_{1-\alpha/2}\right),$$

令其等于目标功效并解出 $n$，即得统计功效与样本量中的公式。对控制 $k$ 个变量的偏相关，有效样本量从 $n$ 变为 $n-k$。对 $m$ 条边做 Bonferroni 校正时，把 $\alpha$ 换成 $\alpha/m$；由于 $z_{1-\alpha/(2m)}$ 随 $m$ 只以约 $\sqrt{2\ln m}$ 的速度增长，节点数增加带来的样本量增长主要来自更弱的边和更多的控制变量。

经验 $p$ 值与蒙特卡洛误差

设检验统计量在原假设下的真实尾概率为 $p$，从零分布独立抽取 $B$ 个样本，其中不小于观测值的个数 $b \sim \mathrm{Binomial}(B, p)$。$b/B$ 的方差为 $p(1-p)/B$，故蒙特卡洛标准误为 $\sqrt{p(1-p)/B}$。若要求在 $p$ 接近显著性水平 $\alpha$ 时，标准误不超过 $\alpha$ 的 $c$ 倍，则需要 $B \ge (1-\alpha)/(c^2\alpha)$；例如 $\alpha = 0.05$、$c = 0.1$ 时 $B \ge 1900$。$(b+1)/(B+1)$ 这一形式相当于把观测数据本身视为零分布的一个样本，在原假设下 $P(\hat p \le u) \le u$，即检验是有效的（Phipson & Smyth 2010）。

循环分析为何产生偏倚

设有 $M$ 个特征，其组间差异的检验统计量 $T_1, \dots, T_M$ 在原假设下独立同分布于 $N(0,1)$。选出 $|T_j|$ 最大的若干个后，它们在同一数据上的值是次序统计量，期望约为 $\sqrt{2 \ln M}$ 量级而非 0，因此再用同一数据检验必然“显著”。若在独立数据上检验，被选特征的统计量仍服从 $N(0,1)$，偏倚消失。这就是分半或交叉验证能够纠正循环分析的原因。

设定曲线的联合推断

记 $S$ 个设定的效应估计为 $\hat\theta_1, \dots, \hat\theta_S$。选择一个汇总统计量 $g$（如中位数、显著设定数、同号设定数）。在原假设下生成数据的“零版本”（如打乱组标签，或从结局中减去估计效应），对每个零版本重新运行全部 $S$ 个设定并计算 $g$，得到 $g$ 的零分布，再用经验 $p$ 值判断观测的 $g$ 是否异常（Simonsohn 等 2020）。由于不同设定使用同一数据、彼此高度相关，不能把各设定的 $p$ 值当作独立检验直接计数。