贝叶斯网络与因果结构学习

模型

贝叶斯网络（Bayesian network, BN） 用一个有向无环图（DAG）$G$ 表示联合分布的分解：

$$P(x_1,\dots,x_p)=\prod_{i=1}^{p}P\big(x_i\mid x_{\mathrm{Pa}(i)}\big),$$

$\mathrm{Pa}(i)$ 是节点 $i$ 在 $G$ 中的父节点。图中缺少的边对应条件独立：每个节点在给定父节点后，与其非后代节点条件独立。条件分布可以是离散的（把表达分为低/中/高）或线性高斯的。Friedman 等（2000, Journal of Computational Biology）最早系统地把 BN 用于酵母表达数据；Friedman（2004, Science）综述了概率图模型在细胞网络推断中的用法。

学习结构

结构学习通常是打分加搜索：给每个候选 DAG 打分（如 BIC 或贝叶斯 BDe 分数），在 DAG 空间中搜索高分结构。常用分数可以按节点分解，

$$\mathrm{score}(G\mid D)=\sum_{i=1}^{p}\mathrm{score}\big(x_i,\mathrm{Pa}(i)\mid D\big),$$

所以局部改动（加、删、反转一条边）只需重算一两个节点的分数，贪心爬山或 MCMC 才可行。但 DAG 的数目随 $p$ 超指数增长，精确求最优在一般情形下是 NP 困难的，实际只能处理几十到几百个基因，或先限定每个节点的候选父节点。

由于数据有限，最高分结构往往不唯一也不稳定。Friedman 等（2000）的做法是不相信单个网络，而对“特征”求置信度：对数据做 bootstrap，每次学习一个网络，统计某条边或某个“X 是 Y 的马尔可夫毯成员”在多少次中出现。模块网络（Segal 等, 2003, Nature Genetics）则把共表达基因归为模块，同一模块共享调控程序，以减少参数并提高可解释性。

马尔可夫等价与方向的可识别性

例如 $A\to B\to C$、$A\leftarrow B\leftarrow C$、$A\leftarrow B\to C$ 都只蕴含“$A\perp C\mid B$”，属于同一等价类，观测数据无法分辨；而 $A\to B\leftarrow C$ 蕴含“$A\perp C$ 但给定 $B$ 后不独立”，可以被识别。这就是为什么只用横断面表达数据时，大部分边的方向是不可识别的。

干预打破等价：如果实验固定了 $B$（敲除或抑制剂），$A\to B$ 时 $A$ 的分布不变，而 $B\to A$ 时 $A$ 的分布会随之改变。

局限与扩展

1. 无环假设：静态 BN 不能表示反馈环，而反馈在基因调控中非常普遍。动态贝叶斯网络（DBN）把时间展开：$x(t)$ 的父节点取自 $x(t-1)$，环在时间展开后变成无环。
2. 离散化损失信息，而线性高斯 BN 又不能刻画非线性。
3. 隐变量：未测量的共同调控因子会制造虚假的边，因果充分性假设（所有共同原因都被测量）在表达数据中几乎不成立。
4. 规模：全基因组 BN 不可行，通常先用共表达或先验知识缩小候选集。