WGCNA：加权基因共表达网络分析

WGCNA（weighted gene co-expression network analysis）由 Zhang 与 Horvath（2005）提出理论框架，Langfelder 与 Horvath（2008）发布 R 包。它的目标不是逐条确认调控边，而是把上万个基因压缩成十几个模块，再把模块与临床性状关联。

从相关到邻接：软阈值

先算基因两两相关系数 $r_{ij}$。硬阈值做法是 $|r_{ij}| > \tau$ 记一条边，问题在于结果对 $\tau$ 很敏感，阈值附近的微小差异会让边忽有忽无。WGCNA 改用软阈值（soft thresholding）：

无符号网络：

$$a_{ij} = |r_{ij}|^{\beta}$$

有符号网络：

$$a_{ij} = \left(\frac{1+r_{ij}}{2}\right)^{\beta}$$

幂次 $\beta$ 越大，弱相关被压得越小，强相关保留得越多。例如 $\beta = 6$ 时，$r = 0.9$ 得 $0.53$，$r = 0.5$ 只剩 $0.016$。有符号网络把负相关基因视为不相连，更符合“同一模块基因同向变化”的直觉，近年使用更多。

怎么选 $\beta$：无标度拟合准则

WGCNA 假设生物网络近似无标度（见小世界与无标度网络模型）。对每个候选 $\beta$，计算每个基因的连接度 $k_i = \sum_{j \ne i} a_{ij}$，把 $k$ 分箱，拟合 $\log_{10} p(k)$ 对 $\log_{10} k$ 的直线，记拟合优度 $R^2$。选使 $R^2$ 首次达到约 0.8–0.9（且斜率为负）的最小 $\beta$，同时检查平均连接度不要降得太低。

拓扑重叠：用“共同邻居”去噪

单个相关系数噪声大。WGCNA 引入拓扑重叠矩阵（topological overlap matrix, TOM）：

$$\mathrm{TOM}_{ij} = \frac{l_{ij} + a_{ij}}{\min(k_i, k_j) + 1 - a_{ij}},\qquad l_{ij} = \sum_{u \ne i,j} a_{iu}a_{uj}$$

两个基因不仅自身相关，而且与同一批基因相关，TOM 才高。这与网络结构指标与随机图中的“共同邻居”、社团结构与社区发现中社团的“内部连接稠密”是同一个思想。

模块、特征基因与性状关联

1. 聚类：以 $1-\mathrm{TOM}$ 为距离做平均连锁层次聚类（见社团结构与社区发现），得到基因树。
2. 切树：用动态剪切（dynamic tree cut）把树切成模块，规定最小模块大小（常用 20–30）；未归入任何模块的基因记为灰色。
3. 模块特征基因（module eigengene, ME）：对模块内基因的标准化表达做主成分分析，取第一主成分作为该模块在每个样本上的“代表表达”。
4. 模块–性状关联：计算 ME 与临床性状（如疾病状态、分期、生化指标）的相关和 $p$ 值，筛出与性状最相关的模块。
5. hub 基因：用模块内连接度 $k_\mathrm{in}$ 或模块成员度 $k_\mathrm{ME}(i) = \mathrm{cor}(x_i, \mathrm{ME})$ 排序，取排名靠前的基因；再结合基因显著性 $\mathrm{GS}_i = |\mathrm{cor}(x_i, y)|$（$y$ 为临床性状）筛选。
6. 功能注释：对模块做 GO/KEGG 富集分析，给模块起“生物学名字”。

三个步骤的完整模拟示例（选 $\beta$、TOM 聚类、ME 与 hub）见代码示例的前三个单元。