Example06 / 09
聚集谱 C(k) 与层次模块网络（Ravasz–Barabási 型确定性模型）
递归构造层次网络：基本单元是 5 个节点的完全图（1 个中心 + 4 个外围）；每一层把当前网络复制 4 份， 并把各副本中“最底层外围节点”全部连到原网络的中心节点。 对比 BA 网络：层次网络的 C(k) 随 k 近似按 k^(-1) 下降，BA 网络的 C(k) 基本与 k 无关。 解读：C(k) 的负斜率是层次模块性的一个必要而非充分的信号；度相关与 C(k) 的估计也相互影响。
Output输出图
Output文字输出
层次网络: N = 625, 平均聚集系数 = 0.815, log C(k) ~ log k 斜率 = -1.11, 度相关 r = -0.129
部分 C(k): {4: 1.0, 5: 0.9, 6: 0.8, 7: 0.714, 20: 0.158, 84: 0.036, 340: 0.009}
BA 网络: N = 625, 平均聚集系数 = 0.046, log C(k) ~ log k 斜率 = -0.13, 度相关 r = -0.069
部分 C(k): {3: 0.071, 8: 0.025, 13: 0.01, 18: 0.016, 23: 0.024, 35: 0.024, 80: 0.026}Code代码
# 递归构造层次网络：基本单元是 5 个节点的完全图（1 个中心 + 4 个外围）；每一层把当前网络复制 4 份，
# 并把各副本中“最底层外围节点”全部连到原网络的中心节点。
# 对比 BA 网络：层次网络的 C(k) 随 k 近似按 k^(-1) 下降，BA 网络的 C(k) 基本与 k 无关。
# 解读：C(k) 的负斜率是层次模块性的一个必要而非充分的信号；度相关与 C(k) 的估计也相互影响。
import numpy as np
import networkx as nx
def hierarchical_network(levels=3):
G = nx.complete_graph(5)
center = 0
periphery = [1, 2, 3, 4] # 当前网络中“最外围”的节点
for _ in range(levels):
n = G.number_of_nodes()
H = G.copy()
new_periph = []
for c in range(1, 5):
offset = c * n
H = nx.union(H, nx.relabel_nodes(G, {v: v + offset for v in G}))
for p in periphery:
H.add_edge(center, p + offset)
new_periph.append(p + offset)
G, periphery = H, new_periph
return G
def ck_curve(G):
cl = nx.clustering(G)
deg = dict(G.degree())
out = {}
for k in sorted(set(deg.values())):
if k >= 2:
out[k] = np.mean([cl[i] for i in G if deg[i] == k])
return out
H = hierarchical_network(levels=3)
B = nx.barabasi_albert_graph(H.number_of_nodes(), 3, seed=1)
for name, G in [("层次网络", H), ("BA 网络", B)]:
ck = ck_curve(G)
ks = np.array([k for k in ck if ck[k] > 0], float)
cs = np.array([ck[k] for k in ck if ck[k] > 0])
slope = np.polyfit(np.log(ks), np.log(cs), 1)[0]
print(f"{name}: N = {G.number_of_nodes()}, 平均聚集系数 = {nx.average_clustering(G):.3f}, "
f"log C(k) ~ log k 斜率 = {slope:.2f}, 度相关 r = {nx.degree_assortativity_coefficient(G):+.3f}")
show = list(ck.items())[:: max(1, len(ck) // 6)]
print(" 部分 C(k):", {k: round(float(v), 3) for k, v in show})
# 作图：双对数坐标下的聚集谱 C(k)，并画出 k^-1 参考线
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 4.2))
for G, lab, mk in [(H, "hierarchical network", "o"), (B, "BA network", "s")]:
ck = {k: c for k, c in ck_curve(G).items() if c > 0}
ax.loglog(list(ck), list(ck.values()), mk, ms=5, alpha=0.8, label=lab)
kref = np.array([4, 100])
ax.loglog(kref, 2.0 / kref, "k--", lw=1, label="~ k^-1")
ax.set_xlabel("degree k"); ax.set_ylabel("clustering spectrum C(k)")
ax.set_title("Hierarchical modularity: C(k) falls as k^-1, BA stays flat")
ax.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()Run在浏览器中运行
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